Durant ma vie d’étudiant, il y a plusieurs choses qui m’ont passionnées, comme notamment la théorie des langages formels, les réseaux neuromimétiques, ou les courbes fractales et autres dragons. Je savais que j’aurais bien l’occasion de croiser à nouveau ces thèmes dans la vie… Et ce fût le cas. Par exemple, le hasard a fait que j’ai retrouvé le papa de la théorie des langages formels (Noam Chomsky) dans des domaines plus philosophiques. Et aujourd’hui, grâce au dernier Sciences & Vie, je redécouvre de spectaculaires images fractales… en 3D cette fois-ci.
Oh, l’idée n’est pas nouvelle. Tous ceux qui se sont amusés à programmer des opérations de nombres complèxes façon Zn+1=Zn2+c pour obtenir de belles images 2D ont certainement essayé de voir ce que ça pouvait donner en 3D. Pour ma part, chou blanc (enfin, façon de parler, parce que le chou fleur ayant une structure fractale, si j’étais arrivé à un tel résultat, j’en aurais été fier). Et même les mathématiciens n’obtenaient pas grand chose de « joli ».
Or, voila qu’un amateur éclairé (Daniel White) commence à faire part de ses découvertes dans un forum spécialisé. Aidé d’un autre amateur (Paul Nylander), ils réussissent à proposer un modèle simple d’algorithme qui permet d’obtenir des modèles 3D d’objets fractals. Les coupes de ces objets donnent des résultats époustouflants. En hommage au père des fractales, ils ont appelé ces objets des Mandelbulbes. Vous pouvez en découvrir de spectaculaires :
- sur ce site,
- ou sur celui-ci,
- et je vous invite aussi à aller voir cette spectaculaire animation vidéo (ou celle-ci).
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 Fond musical : Jean-Michel Jarre – Equinoxe IV |
autrement dit, c’est quoi les fractales ? :)…
Ah… Les fractales de Mandelbrot… Tu aimais les maths étant petite ? Alors sert toi une aspirine 😉
Les fractales sont des êtres mathématiques « autosimilaires », continus en tous points, dérivables en aucun… Aïe… Heuuuu… OK, je traduis 🙂
Je vais essayer de te faire comprendre en passant par l’analogie la plus célèbre : la mesure des côtes bretonnes. Supposons qu’on te demande de mesurer la longueur des côtes de Bretagne. Tu prends une petite carte, un double décimètre, tu fais deux ou trois mesures, tu appliques l’échelle, et tu obtiens un résultat. Seulement, tu te rends compte que si tu prend une carte plus précise, tu vois mieux les ciselures le longs des côtes. Ta mesure sera plus précise, et tu trouveras une longueur plus grande. Tu décides donc de te rendre sur place. Alors, tu constate que la mer fait des ciselures encore plus nombreuses, et qu’en réalité, la longueur des la côte est encore plus grande que prévue. Et si tu zoomes après au niveau du grain de sable, si tu ajoutes les infinités de petites longueurs de grains de sable, la longueur de la côte est encore plus grande ! Et si tu zoomes encore…. bref, je crois que tu as compris le principe.
Mathématiquement, on appelle de telles courbes des « objets factals », ou simplement des « fractales ».
Exemple célèbre d’une telle courbe : la courbe de Von Koch. Tu prends un triangle équilatéral. Puis, tu coupes chacun des cotés en trois, et tu ajoutes un triangle équilatéral à la place du segment du milieu. Et tu réalises la même opération à l’infini sur chacun des segments de ta nouvelle courbe. Oui je sais, pas facile à expliquer en français, mais facile à comprendre si tu regardes la construction de la courbe là : http://www.jesuiscultive.com/IMG/jpg/Von_Koch.jpg Et bien cette courbe a une propriété intéressante : elle a une surface finie (autrement dit : on sait quelle quantité de peinture il faut pour colorier l’intérieur), mais son périmètre est infini (autrement dit, tu ne trouveras jamais un stylo ayant assez d’encre pour en dessiner les contours).
Pour être vraiment complet, les fractales les plus connues sont celles dites de Mandelbrot (en hommage au mathématicien français qui les a le mieux décrites et remises au goût du jour). Exemple ici : http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ac/Mandelbrot-Menge_farbig.png Pour calculer ce genre d’image, on élève une infinité de fois un nombre complexe au carré. Soit la suite diverge vers l’infini, et alors on ne fait rien, soit la suite converge, et dans ce cas, on colorie le point géométrique lié au dit nombre complexe.
Maintenant, c’est joli mais… ça ne reste qu’une beau dessin en 2D. Les Mandelbulbes sont donc une découverte récente, sorte de bidouille qui permet de faire des fractales non pas en 2D, mais en 3D. Pour le coup, on sait quelle quantité d’eau il faut pour les remplir, mais on n’aura jamais assez de peinture pour couvrir toute leur surface…
Sûr que si tu ne sais pas ce qu’est un nombre complexe, cette explication va te sembler abscons. Quoi qu’il en soit, n’hésite pas à me demander s’il y a des passages obscurs dans tout ce blabla.
merci beaucoup pour les explications … ce que je trouve étonnant et qui m’émerveille, ce sont ces figures spéciales et finalement facilement identifiables… alors peut-être pas si matheuse que ça… mais admirative assurément ! sourire
@marie : on fait tous inconsciemment des maths… Parfois de façon formelle, parfois, de façon intuitive. Mais effectivement, le plus amusant, c’est qu’initialement, ce sont des structures totalement virtuelles et irréelles, et qu’en pratique, ça ressemble (et ça a les mêmes propriétés) que bien des choses qui sont naturelles.